指数関数の微分
参考：原岡喜重「オイラーの公式がわかる」ブルーバックス
$a^x$ の導関数と $e$ の定義
指数関数 $a^x$ の導関数は次のようになる。
$$\begin{aligned}
\lim_{h\to 0} \dfrac{a^{x+h}-a^x}{h}
&=\lim_{h\to 0} \dfrac{a^xa^h-a^x}{h}\\
&=a^x\cdot\lim_{h\to 0} \dfrac{a^h-1}{h}
\end{aligned}$$
ここで $\displaystyle\lim_{h\to 0} \dfrac{a^h-1}{h}$ が定まる（証明略）ので、これを $l(a)$ とおく。
$$
l(a):=\dfrac{a^h-1}{h}
$$
色々調べてみると、この関数は単調増加であり、また任意の実数値を取ることがわかる。そこで、 $l(a)=1$ となるような $a$ が存在するから、そのような数を $e$ と定める。すなわち
$$
l(e)=1
$$
このことから直ちに
$$
\left(e^x\right)' = e^x
$$
であることがわかる
$\log x$ の微分
$e$ を底とする対数関数 $\log_e x$ を、通常単に $\log x$ と書く。 $y=\log x$ の微分を求めよう
$$\begin{aligned}
y &= \log x \\
x &= e^y \\
\text{両辺を微分して}\\
1 &= \dfrac{de^y}{dy}\dfrac{dy}{dx} = y'\cdot e^y = y'\cdot x \\
y' &= \dfrac{1}{x}
\end{aligned}$$
$a^x$ の微分ふたたび
$\log x$ の微分がわかると、 $a^x$ の微分が行える
$$\begin{aligned}
y &= a^x \\
\log y &= x \log a \\
\text{両辺を微分して}\\
\dfrac{1}{y}\cdot y' &= \log a \\
y' &= y\log a \\ &= a^x \log a
\end{aligned}$$